Limit fungsi trigonometri

Sebelum memahami penyelesaikan soal latihan, ingatlah bahwa dalam limit fungsi trigonometri berlaku sifat-sifat berikut :

  • lim{x{right}0}{{px}/{sin~px}}~=~1
  • lim{x{right}0}{{sin~px}/{px}}~=~1
  • lim{x{right}0}{{px}/{tan~px}}~=~1
  • lim{x{right}0}{{tan~px}/{px}}~=~1

Oleh sebab itu gunakanlah identitas-identitas trigonometri yang sesuai dalam melakukan pengubahan bentuk soal yang diketahui supaya mendapatkan bentuk yang sesuai dengan salah satu atau lebih sifat seperti di atas.


  1. Tunjukkanlah bahwa lim{x{right}0}~{{1~-~cosx}/x}~=~0
    Penyelesaian :
    lim{x{right}0}~{{1~-~cosx}/x}~=~lim{x{right}0}~{{1~-~cosx}/x~*~{{1~+~cosx}/{1~+~cosx}}}~=~lim{x{right}0}~{{1~-~cos^2x}/{x({1~+~cosx})}}
    lim{x{right}0}~{{1~-~cos^2x}/{x({1~+~cosx})}}~=~lim{x{right}0}~{{sin^2x}/{x({1~+~cosx})}}~=~{lim{x{right}0}~{{sinx}/{x}}}~{lim{x{right}0}~{{sinx}/{1~+~cosx}}}~=~1~{(0/{1~+~1})}~=~0

  2. hitunglah nilai dari   lim{x{right}0}~{{sin3x}/{2x}}
    Penyelesaian :
    untuk soal tersebut pemecahannya jelas sekali bahwa pada bagian pembilang sin3x, jadi pada bagian penyebut harus 3x supaya limitnya bernilai 1.(seperti sifat yang tercantum di atas)
    lim{x{right}0}~{{sin3x}/{2x}}~=~lim{x{right}0}~{{{sin3x}/{2x}}*{{3x}/{3x}}}~=~{{3x}/{2x}}lim{x{right}0}~{{sin3x}/{3x}}~=~3/2

  3. Tunjukkanlah bahwa   lim{x{right}0}~{{sin3x~-~sin2x}/{x}}~=~1
    Penyelesaian :
    lim{x{right}0}~{{sin3x~-~sin2x}/{x}}~=~1
    lim{x{right}0}~{{sin3x}/{x}}lim{x{right}0}{{sin2x}/x} =
    {3}lim{x{right}0}~{{sin3x}/{3x}}{2}lim{x{right}0}{{sin2x}/{2x}} = 3 – 2 = 1