Menggunakan identitas trigonometri

Menggunakan rumus-rumus atau identitas trigonometri diantaranya untuk pembuktian sebuah persamaan, menentukan nilai fungsi trigonometri sudut-sudut yang merupakan kelipatan dari sudut-sudut istimewa maupun merupakan hasil penjumlahan atau selisih dua sudut istimewa. Perhatikan kembali Rumus-rumus identitas
Berikut beberapa contoh penggunaan :

  1. Tentukanlah nilai {sin}75^o
    75^o adalah jumlah dari sudut istimewa 45^o dan 30^o oleh karena itu gunakanlah rumus sinus jumlah dua sudut.
    sin({45^o}+{30^o})~=~sin{45^o}cos{30^o}~+~cos{45^o}sin{30^o}
    Jadi sin{75^o}~=~{1/2}sqrt{2}~*~{1/2}sqrt{3}~+~{1/2}sqrt{2}~*~{1/2}~=~{1/4}(sqrt{6}~+~sqrt{2})
  2. Tentukan nilai sin{22,5^o}
    lihat kembali bahwa cos{2A}~=~1~-~2sin^2{A} dengan demikian akan diperoleh bentuk sin{A}~=~sqrt{{1~-~cos{2A}}/2} kemudian gantilah A dengan 22,5^o
    sin{22,5^o}~=~sqrt{{1~-~cos{45^o}}/2}
    sin{22,5^o}~=~sqrt{{1/2}~-~{1/4}{sqrt{2}}}
  3. Misalkan diketahui bahwa sudut alpha di kuadran III dan sudut beta di kuadran II. Diketahui sin{alpha}~=~-{4/5} dan cos{beta}~=~-{8/17} , Hitunglah :
    • sin({alpha}~+~{beta})
    • cos({alpha}~+~{beta})
    • tan({alpha}~+~{beta})

    Perhatikanlah bahwa dalam setiap rumus jumlah yang ditanyakan mengandung unsur sin{alpha}~,~cos{alpha}~,~sin{beta}~,~cos{beta} oleh karenanya haruslah dicari dahulu unsur yang belum diketahui, yaitu cos{alpha} dan sin{beta}
    Gunakan identitas cos^2{alpha}~+~sin^2{alpha}~=~1
    diperoleh cos{alpha}~=~-{3/5} (ingatlah bahwa sudut alpha dikuadran III, sinus dan cosinus negativ).
    Gunakan identitas cos^2{beta}~+~sin^2{beta}~=~1
    diperoleh sin{beta}~=~{15/17} (ingatlah bahwa sudut beta dikuadran II, jadi sinus positif, cosinus negativ).
    Sekarang gunakan nilai-nilai yang sudah diperoleh dan yang diketahui untuk menghitung :

    • sin({alpha}~+~{beta})~=~sin{alpha}cos{beta}~+~cos{alpha}sin{beta}
      sin({alpha}~+~{beta})~=~(-4/5)(-8/17)~+~(-3/5)(15/17)~=~-{13/85}
    • cos({alpha}~+~{beta})~=~cos{alpha}cos{beta}~-~sin{alpha}sin{beta}
      cos({alpha}~+~{beta})~=~(-3/5)(-8/17)~-~(-4/5)(15/17)~=~{84/85}
    • tan({alpha}~+~{beta})~=~{sin({alpha}+{beta})}/{cos({alpha}+{beta})}
      tan({alpha}~+~{beta})~=~{{-13/85}/{84/85}}~=~-{13/84}
  4. Tunjukkanlah bahwa :
    cos3A = 4~cos^3A~-~3cos~A
    bukti :
    cos3A = cos(2A + A) = cos 2A cosA – sin 2A sinA (lihat kembali RUMUS UNTUK SUDUT RANGKAP)
    cos~3A~=~(2~cos^2A~-~1)cos~A~-(2sin~A~cos~A)sin~A
    cos~3A~=~(2~cos^3A~-~cos~A~)-(2sin^2A~cos~A)
    cos~3A~=~(2~cos^3A~-~cos~A~)-(2(1~-~cos^2A)~cos~A)
    cos~3A~=~(2~cos^3A~-~cos~A~)-(2~cos~A~-~2cos^3A)
    cos~3A~=~2~cos^3A~-~cos~A~-~2~cos~A~+~2cos^3A
    cos~3A~=~4cos^3A~-~3cos~A (terbukti)