Garis singgung lingkaran

  1. Diketahui lingkaran x^2~+~y^2~-~4x~+~8y~-~5~=~0
    Tentukanlah salah satu persamaan garis singgung pada lingkaran tersebut yang tegak lurus terhadap garis 3x – 4y + 8 = 0. (soal Ujian Nasional th. 2013-2014)
    Pembahasan :
    dua garis lurus berpotongan tegak lurus, {m_1}{m_2}~=~-~1 dimana m = gradien garis lurus.
    misalkan m_1 adalah gradien garis yang diketahui, sedangkan m_2 adalah gradien garis singgung yang akan dicari. Jika {m_1}{m_2}~=~-~1 , maka {m_2}~=~-~1/{m_1}
    m_1 diperoleh dari persamaan : 3x – 4y + 8 = 0 doubleleftright~y~=~3/4x~+~2 jadi m_1~=~3/4 dan m_2~=~-~4/3
    Persamaan garis singgung yang tegak lurus terhadap suatu garis tertentu adalah :
    y~-~b~=~m~(x~-~a)~pm~r{sqrt{1~+~m^2}} , a dan b adalah pusat lingkaran yaitu: a~=~-~1/2(~-~4)~=~2 dan b~=~-~1/2(8)~=~-~4 dan jari-jari r~=~{sqrt{1/4(~-~4)^2~+~1/4(8)^2~-~(~-~5)}}~=~5
    substitusi semua nilai yang sudah didapat ke persamaan garis singgung lingkaran:
    y~-~(~-~4)~=~-~4/3(x~-~2)~pm~5{sqrt{1~+~(~-~4/3)^2}}

    • garis singgung ke-1 :
      y~+~4~=~-~4/3x~+~8/3~+~5(5/3)
      y~=~-~4/3x~+~8/3~+~5(5/3)~-~12/3
      y~=~-~4/3x~+~21/3
      3y~=~-~4x~+~21 – – – (1)
    • garis singgung ke-2 :
      y~+~4~=~-~4/3x~+~8/3~-~5(5/3)
      y~=~-~4/3x~+~8/3~-~5(5/3)~-~12/3
      y~=~-~4/3x~-~29/3
      3y~=~-~4x~-~29 – – – (2)
  2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x^2~+~y^2~=~10 yang melalui titik (4,2).
    Pembahasan :
    selidiki dahulu posisi titik tersebut terhadap lingkaran, substitusi (4,2) ke persamaan lingkaran.
    4^2~+~2^2~=~20 karena hasilnya > 10 maka artinya titik (4,2) terletak diluar lingkaran.
    Selanjutnya menentukan gradien garis singgung dimana persamaan garis singgunggungnya adalah :
    y – b = m(x – a) ; substitusi titik singgungnya menjadi y – 2 = m(x – 4) sehingga persamaan menjadi y = mx – 4m + 2.
    Karena harus menyinggung lingkaran maka substitusikan persamaan garis tersebut ke persamaan lingkaran :
    x^2~+~(mx~-~4m~+~2)^2~=~10
    x^2~+~m^2x^2~+~2mx(2~-~4m)~+~(2~-~4m)^2~=~10
    x^2~+~m^2x^2~+~4mx~-~8m^2x~+~4~-~16m~+~16m^2~-~10~=~0 selanjutnya susun menjadi bentuk persamaan kuadrat dalam x :
    (1~+~m^2)x^2~+~(4m~-~8m^2)x~-~16m~+~16m^2~-~6~=~0
    gradien(m) dapat dicari menggunakan Diskriminan dengan syarat Diskriminan = 0.
    b^2~-~4ac~=~0
    (4m~-~8m^2)^2~-~4(1~+~m^2)(16m^2~-~16m~-~6)~=~0
    16m^2~-~64m^3~+~64m^4~-~64m^2~+~64m~+~24~-~64m^4~+~64m^3~+~24m^2~=~0
    -~24m^2~+~64m~+~24~=~0
    3m^2~-~8m~-~3~=~0
    (3m~+~1)(m~-~3)~=~0
    m~=~-~1/3~V~m~=~3 gradien sudah didapat, kembali lagi ke persamaan y = mx – 4m + 2.
    untuk m~=~-~1/3 persamaan garis singgungnya adalah :
    y~=~-~1/3x~-~4(~-~1/3)~+~2~{doubleleftright}y~=~-~1/3x~+~{10}/3~{doubleleftright}~x~+~3y~=~10
    untuk m = 3 persamaan garis singgungnya adalah :
    y = 3x – 4(3) + 2 doubleleftright y = 3x – 10 doubleleftright 3x – y = 10.