Diferensial

Jika f adalah suatu fungsi, maka turunan pertama fungsi f adalah f{prime}.
misalkan f(x) = ax^n maka f{prime}(x)~=~anx^{n-1}.

diketahui f(x)~=~2x^3~-~x^{-2} turunan pertama fungsi tersebut adalah :
f{prime}(x)~=~6x^2~+~2x^{-3}

Selanjutnya apabila fungsi berbentuk pecahan f(x)~=~{ax+b}/{cx+d}, dengan x~tidak~sama~dengan~-~{d/c} maka penyelesaian dilakukan menggunakan aturan khusus untuk turunan fungsi pecahan yaitu f{prime}(x)~=~{u{prime}v~-~v{prime}u}/{v^2}
sebagai contoh : f(x)~=~{2x~+~3}/{4x~+~5}, dengan x~tak sama dengan~-~5/4
maka f{prime}(x)~=~{2(4x~+~5)~-~4(2x~+~3)}/{(4x~+~5)^2}~=~{-~2}/{(4x~+~5)^2}
model-model penggunaan diferensial, diantaranya :

  1. nilai maksimum atau minimum suatu fungsi, sebagai contoh tentukanlah koordinat titik P pada gambar berikut, jika luas daerah yang diarsir mencapai maksimum.

    Persamaan garis yang melalui titik (0 , 6) dan titik (4 , 0) adalah 6x + 4y = 24 atau y~=~6~-~{3/2}x, jadi koordinat titik P adalah (x~,~6~-~{3/2}x)
    Luas daerah yang diarsir L(x)=x(6~-~{3/2}x)~{doubleright}~L{prime}(x)~=~6~-~3x
    Luas daerah yang diarsir maksimum jika L{prime}(x)~=~0~{doubleright}~6~-~3x~=~0~, {doubleright}x~=~2
    Koordinat P(x~,~6~-~{3/2}x) karena x = 2 maka koordinat titik P(2 , 3)

  2. Tentukan persamaan garis singgung pada grafik f(x)~=~x^2~+~4 di titik dengan absis 3.
    Gradien garis singgung : tan a = f{prime}(x)~=~2x di titik dengan absis 3 {doubleright} tan a = 2(3) = 6
    Titik singgung : y = 3^2~+~4~=~13 jadi titik singgungnya (3 , 13)
    Persamaan garis yang melalui titik (3 , 13) dengan gradien 6 adalah :
    y~-~{y_1}~=~tan{a}(x~-~{x_1})
    y~-~13~=~6(x~-~3)
    y~=~6x~-~18~+~13~{doubleright}~y~=~6x~-~5 adalah persamaan garis singgung pada grafik f(x)~=~x^2~+~4 melalui titik (3 , 13)

Unduh soal dan pembahasan Diferensial selengkapnya

unduh file PDF 189KB