Sudut pada bangun ruang

  1. Sudut antara dua garis yang bersilang.
    Perhatikan gambar kubus berikut :

    Jika diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah a cm, AF adalah diagonal bidang sisi, dan BH adalah diagonal ruang. AF dan BH posisinya bersilangan, maka tentukanlah besar salah satu sudut yang dibentuk oleh AF dan BH.
    Untuk mengetahui sudut yang dibentuk oleh dua garis yang bersilang pada bangun kubus buatlah garis sejajar dengan salah satu garis tersebut tetapi ambil yang lebih mudah dalam penyelesaiannya. Tarik garis yang sejajar AF memotong FG dan AD di tengah-tengah, misal beri nama PQ, PQ akan berpotongan dengan BH karena diagonal ruang melalui tengah-tengah kubus. Misalkan besar salah satu sudut yang dicari adalah sudut BSQ.


    Panjang BQ = sqrt{a^2~+~({1/2}a)^2}~=~{1/2}a{sqrt{5}}
    Panjang SQ = {1/2}a{sqrt{2}}
    Panjang SB = {1/2}a{sqrt{3}}
    Besar sudut BSQ dicari dengan menggunakan aturan Kosinus, yaitu :
    cos BSQ~=~{SB^2~+~SQ^2~-~BQ^2}/{2.SB.SQ}~=~{{3/4}a^2~+~{2/4}a^2~-~{5/4}a^2}/{2~*~{1/2}a{sqrt{3}}~*~{1/2}a{sqrt{2}}}~=~0
    Karena cos BSQ = 0 maka besar sudut BSQ = 90^o

  2. Sudut antara dua bidang.

    Diketahui sebuah tetrahedron (bidang empat) T.ABC, alasnya merupakan segitiga siku-siku. Panjang sisi AB = AC, panjang TA = 5{sqrt{3}} dan tegak lurus terhadap bidang alas. Jika panjang sisi BC = 10 cm, maka tentukanlah besar sudut antara bidang TBC dengan bidang ABC.

    Penyelesaian :

    Gambar 1.
    Gambar 2.

    gambar 2 memperlihatkan sudut antara dua bidang pada bidang empat (tetrahedron). tarik garis dari T tegak lurus garis BC, kemudia dari A juga ditarik garis tegak lurus BC. Sudut ADT adalah sudut antara bidang TBC dan bidang ABC.
    Segitiga TAD siku-siku di A, dan segitiga ABC juga siku-siku di A (diketahui).
    AB^2~+~AC^2~=~BC^2
    AB^2~+~AC^2~=~10^2 , karena AB = AC maka 2AB^2~=~100~{doubleright}AB~=~sqrt{50}
    karena ABC adalah segitiga siku-siku sama kaki maka pajang BD~=~{1/2}BC~=~5
    pajang AD~=~sqrt{AB^2~-~BD^2}~=~sqrt{50~-~25}~=~5
    tan sudut ADT = {TA}/{AD}~=~{5{sqrt{3}}}/5~=~sqrt{3}, maka besar sudut ADT = 60^o