Akar persamaan kuadrat

  1. Akar-akar persamaan kuadrat x^2~+~(a~-~1)x~+~2~=~0 adalah alpha dan beta. Jika {alpha}~=~2{beta} dan a > 0, tentukanlah nilai a.
    Pembahasan : gunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akar.
    {alpha}~+~{beta}~=~-~(a~-~1)~=~1~-~a
    jika {alpha}~=~2{beta}
    maka 2{beta}~+~{beta}~=~-~(a~-~1)~=~1~-~a~{doubleright}~3{beta}~=~1~-~a.
    {alpha}*{beta}~=~2
    jika {alpha}~=~2{beta}
    maka 2{beta}^2~=~2~{doubleright}~{beta}~=~{pm}1
    untuk {beta}~=~1~{doubleright}~3{beta}~=~1~-~a~{doubleright}~3~=~1~-~a~{doubleright}~a~=-~2
    untuk {beta}~=~-~1~{doubleright}~3{beta}~=~1~-~a~{doubleright}~-~3~=~1~-~a~{doubleright}~a~=~4

  2. Akar-akar persamaan kuadrat 2x^2~+~3x~-~2~=~0 adalah alpha dan beta. Tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya {alpha}/{beta} dan {beta}/{alpha}
      Penyelesaian :

    • Jumlah akar-akar : {alpha}~+~{beta}~=~-~{3/2}
      hasil kali akar-akar : {alpha}~*~{beta}~=~-~{2/2}~=~-~1
    • akar-akar persamaan kuadrat yang baru adalah A dan B dimana A = {alpha}/{beta} dan B = {beta}/{alpha}
      A + B = {{alpha}/{beta}}~+~{{beta}/{alpha}}~=~{{alpha}^2~+~{beta}^2}/{{alpha}{beta}}~{doubleleftright}~{{alpha}^2~+~{beta}^2}/{{alpha}{beta}}~=~{({alpha}~+~{beta})^2~-~2{alpha}{beta}}/{{alpha}{beta}}
      substitusikan jumlah akar {alpha}~+~{beta}~=~-~{3/2} dan hasil kali akar {alpha}{beta}~=~-~{2/2}~=~-~1
      {(-3/2)^2~+~2}/{-1}~=~-{1/4}
      A.B = {{alpha}/{beta}}*{{beta}/{alpha}}~=~1

    • Persamaan kuadrat baru :
      x^2~+~(A~+~B)x~+~AB~=~0
      x^2~-~{1/4}x~+~1~=~0~{doubleleftright}~4x^2~-~x~+~4~=~0

  3. Akar-akar persamaan kuadrat 2x^2~-~bx~+~8b~+~2~=~0 adalah x_1 dan x_2. Tentukanlah nilai b jika {x_1}~-~{x_2}~=~7/2
    Penyelesaian :
    x_1~+~x_2~=~b/2 dan {x_1}{x_2}~=~4b~+~1
    {x_1}~-~{x_2}~=~7/2 kedua ruasnya pangkatkan dua
    {x_1}^2~-~2{x_1}{x_2}~+~{x_2}^2~=~49/4doubleright{x_1}^2~+~{x_2}^2~-~2{x_1}{x_2}~=~49/4
    (x_1~+~x_2)^2~-~4{x_1}{x_2}~=~49/4
    substitusi hasil jumlah dan hasil kali akar :
    (b/2)^2~-~4(4b~+~1)~=~49/4
    b^2/4~-~16b~-~4~=~49/4
    b^2~-~64b~-~16~=~49
    b^2~-~64b~-~65~=~0
    (b~-~65)(b~+~1)~=~0
    b~=~65~{union}~b~=~-~1