Pembagian suku banyak

  1. Suku banyak P(x) jika dibagi (x^2~-~x) bersisa x~-~8. Jika dibagi (x~-~5) memberikan sisa 13, maka tentukanlah sisanya jika P(x) dibagi (x^2~-~6x~+~5~)
    Pembahasan :

    • P(x) dibagi (x^2~-~x) bersisa (x~-~8)
      P(x)~=~(x^2~-~x)*H(x)~+~(x~-~8) dimana H(x) adalah hasil pembagian.
      P(x)~=~x(x~-~1)*H(x)~+~(x~-~8)
      P(1)~=~1(1~-~1)*H(1)~+~(1~-~8)~=~-7
    • P(x) dibagi (x~-~5) bersisa 13
      P(x)~=~(x~-~5)*H(x)~+~13
      P(5)~=~(5~-~5)*H(5)~+~13~=~13
    • P(x) dibagi x^2~-~6x~+~5
      P(x)~=~(x^2~-~6x~+~5)*H(x)~+~(px~+~q) dimana px~+~q adalah sisa
      P(x)~=~(x~-~1)(x~-~5)*H(x)~+~(px~+~q)
      P(1)~=~(1~-~1)(1~-~5)*H(1)~+~(p~+~q)~=~-7 (lihat lagi dari awal)
      P(5)~=~(5~-~1)(5~-~5)*H(5)~+~(5p~+~q)~=~13
      lakukan eliminasi
      (p~+~q)~=~-7
      (5p~+~q)~=~13
      hasil eliminasi adalah p = 5 dan q = – 12 , substitusi ke sisa pembagian yaitu (px + q)
      jadi jika P(x) dibagi x^2~-~6x~+~5 sisanya adalah (5x – 12)

  2. Salah satu akar dari suku banyak 3x^3~+~ax^2~-~61x~+~20~=~0 adalah 4. Carilah akar-akar lainnya dari persamaan tersebut.
    Pembahasan :
    Salah satu akar dari suku banyak 3x^3~+~ax^2~-~61x~+~20~=~0 adalah 4.
    artinya suku banyak P(x)~=~3x^3~+~ax^2~-~61x~+~20 habis dibagi 4, cari nilai a
    3(4^3)~+~a(4^2)~-~61(4)~+~20~=~0
    192~+~16a~-~244~+~20~=~0
    16a~-~32~=~0~{doubleright}~a~=~2 jadi suku banyak tersebut adalah :
    P(x)~=~3x^3~+~2x^2~-~61x~+~20~ lakukan pembagian cara Horner seperti berikut :

    hasil pembagiannya adalah : 3x^2~+~14x~-~5 kemudian faktorkan
    (3x~-~1)(x+~5) jadi akar-akar lainnya adalah {1/3} dan – 5

  3. Suku banyak berderajat 3 jika dibagi (x^2~+~x~-~2) sisa (2x – 1), jika dibagi (x^2~-~2x~-~3) bersisa (3x – 3). Tentukanlah suku banyak tersebut.
    Pembahasan :
    yang dibagi = pembagi X hasil bagi + sisa
    karena diketahui P(x) berderajat 3, misalkan P(x) = ax^3~+~bx^2~+~cx~+~d

    • dibagi (x^2~+~x~-~2) bersisa (2x – 1)
      ax^3~+~bx^2~+~cx~+~d = (x^2~+~x~-~2)H(x)~+~(2x~-~1)
      ax^3~+~bx^2~+~cx~+~d = (x~+~2)(x~-~1)H(x)~+~(2x~-~1)
      P(1) = 1 doubleright a + b + c + d = 1 – – – (1)
      P(- 2) = – 5 doubleright – 8a + 4b – 2c + d = -5 – – – (2)
    • dibagi (x^2~-~2x~-~3) bersisa (3x – 3)
      ax^3~+~bx^2~+~cx~+~d = (x^2~-~2x~-~3)H(x)~+~(3x~-~3)
      ax^3~+~bx^2~+~cx~+~d = (x^2~-~3)(x~+~1)H(x)~+~(3x~-~3)
      P(3) = 6 doubleright 27a + 9b + 3c + d = 6 – – – (3)
      P(- 1) = – 6 doubleright – a + b – c + d = – 6 – – – (4)
    • Lakukan eliminasi dan substitusi untuk mendapatkan a, b, c, dan d.
      substitusi a, b, c, dan d ke bentuk pemisalan P(x)