Induksi Matematika

Induksi matematika adalah prinsip pembuktian suatu pernyataan P(n) untuk setiap bilangan asli n.
Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika adalah sebagai berikut:

  1. membuktika bahwa pernyataan P(n) benar untuk n=1
  2. membuktikan bahwa, jika P(n) benar untuk n=k, maka P(n) benar untuk n=(k+1)
  3. menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk setiap bilangan asli n

Buktikan bahwa : 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2n = n(n+1), benar untuk setiap bilangan asli n.

  • Langkah dasar:
    untuk n=1, nilai 2(1) = 1(1 + 1) , terbukti P(n) benar untuk n=1
  • Langkah induksi:
    untuk n=k, misalkan 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2k = k(k+1) ; P(n) benar untuk n=k.
    akan ditunjukkan bahwa P(n) benar untuk n=(k+1),
    2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2k + 2(k + 1) = (k + 1){(k + 1)+1}
    2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 2)
    ruas kiri :
    k(k + 1) + 2(k + 1) = k^2~+~k~+~2k~+~2
    = k^2~+~3k~+~2
    = (k + 1)(k + 2) = ruas kanan, terbukti bahwa P(n) benar untuk n=(k + 1)

  • jadi 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2n = n(n + 1) benar untuk setiap bilangan asli n