Turunan Fungsi

perhatikan gambar berikut :
rata-rata nilai fungsi
klik untuk memperbesar gambar
1. Laju perubahan rata-rata fungsi y = f(x) dalam daerah  a<=x<=b adalah LPR_delim{[}{a,b}{]}~=~{Delta{y}}/{Delta{x}}~=~{f(b)-f(a)}/{b-a}
Laju Perubahan Rata-rata nilai fungsi tersebut dapat ditafsirkan secara geometri sebagai ukuran kemiringan garis lurus yang menghubungkan pasangan titik (a , f(a)) dan (b , f(b)), kemiringan garis tersebut disebut gradien yang ditulis dengan notasi m. Pada gambar terlihat bahwa antara a dan b memiliki jarak yang terukur, atau jarak yang sangat besar.
rata-rata sesaat
klik untuk memperbesar gambar

2. Laju perubahan sesaat adalah laju perubahan rata-rata dalam interval  a<=x<=b sangat kecil atau lebih pendek yang mencerminkan situasi laju yang sesungguhnya dan menghasilkan nilai hampiran jarak yang lebih tepat. Gambar ke dua (berikutnya) memperlihatkan rata-rata laju perubahan sesaat dimana jarak antara a dan b sangat pendek sehinga  Delta{x}~{right}~0 (perubahan x sangat kecil dekat ke nol). Oleh sebab itu pada kecepatan sesaat rata-ratanya dihitung menggunakan limit yaitu :lim{Delta{x}{right}0}{}{f(x~+~Delta{x})~-~f(x)}/{Delta{x}}, apabila limitnya ada pada interval a<=x<=b, maka bentuk tersebut disebut differensial atau sebuah proses untuk menentukan turunan suatu fungsi aljabar dimana  Delta{x} adalah perubahan (b – a) yang sangat kecil dekat ke nol.

misal :
Jika f(x)~=~x^2
maka f(x~+~Delta{x})~=~(x~+~Delta{x})^2~=~x^2~+~2x~Delta{x}~+~Delta{x^2}
f{prime}(x)~=~lim{Delta{x}{right}0}{}{f(x~+~Delta{x})~-~f(x)}/{Delta{x}}
f{prime}(x)~=~lim{Delta{x}{right}0}{}{x^2~+~2x~Delta{x}~+~Delta{x^2}~-~x^2}/{Delta{x}}
f{prime}(x)~=~lim{Delta{x}{right}0}{}{2x~Delta{x}~+~Delta{x^2}}/{Delta{x}}
f{prime}(x)~=~lim{Delta{x}{right}0}{}{(2x~+~Delta{x})~Delta{x}}/{Delta{x}}
f{prime}(x)~=~lim{Delta{x}{right}0}{}{(2x~+~Delta{x})}
untuk {Delta{x}~=~0} diperoleh f{prime}(x)~=~2x