Identitas untuk sudut rangkap

Identitas – identitas yang sudah diperoleh sebelumnya adalah :

  1. cos^2A~+~sin^2A~=~1
    doubleleftrightcos^2A~=~1~-~sin^2A dan/atau sin^2A~=~1~-~cos^2A
  2. tanA = {sinA}/{cosA}
  3. cos(A + B) = cosA cosB – sinA sinB
    cos(A – B) = cosA cosB + sinA sinB
  4. sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB
    sin(A – B) = sinA cosB – cosA sinB
  5. tan(A + B) = {sin(A~+~B)}/{cos(A~+~B)} = {tanA~+~tanB}/{1~-~tanA~tanB}
    tan(A – B) = {sin(A~-~B)}/{cos(A~-~B)} = {tanA~-~tanB}/{1~+~tanA~tanB}

Identitas tersebut dapat digunakan untuk memperoleh identitas rumus sudut rangkap yaitu kelipatan suatu sudut (atau bilangan nyata)

  • cos(A + B) = cosA cosB – sinA sinB
    jika B = A, maka cos(A + A) = cosA cosA – sinA sinA
    cos 2A = cos^2A~-~sin^2A – – – (6)
  • sin(A + B) = sinA cosB + cosA sinB
    jika B = A, maka sin(A + A) = sinA cosA + cosA sinA
    sin 2A = 2 sinA cosA – – – (7)
  • Apabila identitas nomor (1) disubstitusi ke identitas nomor (6)
    cos 2A = cos^2A~-~sin^2A
    cos^2A diganti oleh 1~-~sin^2A akan memperoleh
    cos 2A = (1~-~sin^2A)~-~sin^2A = 1~-~2sin^2A – – – (8)
    cos 2A = cos^2A~-~sin^2A
    sin^2A diganti oleh 1~-~cos^2A akan memperoleh
    cos 2A = cos^2A~-~(1~-~cos^2A) = 2cos^2A~-~1.- – – (9)
  • tan(A + B) = {sin(A~+~B)}/{cos(A~+~B)} = {tanA~+~tanB}/{1~-~tanA~tanB}
    jika B = A, maka tan(A + A) = {tanA~+~tanA}/{1~-~tanA~tanA} = {2~tanA}/{1~-~tan^2A}
    tan2A = {2~tanA}/{1~-~tan^2A} – – – (10)
  • dari rumus no.8 diperoleh:
    sin A = sqrt{{1~-~cos~2A}/2} – – – (11)
  • dan dari rumus no.9 diperoleh:
    cos A = sqrt{{cos~2A~+~1}/2} – – – (12)